二叉树遍历算法 - 元素码农

发布时间: 2025-03-21 15:35

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# 二叉树遍历算法

二叉树是一种重要的树形数据结构，每个节点最多有两个子节点。本文将详细介绍二叉树的基本概念和各种遍历算法。

## 二叉树的基本概念

### 定义

二叉树是由节点和边组成的树形结构，其中：
1. 每个节点最多有两个子节点
2. 子节点区分左右
3. 可以为空

### 基本术语

1. 根节点：树的顶部节点
2. 叶节点：没有子节点的节点
3. 父节点：有子节点的节点
4. 兄弟节点：具有相同父节点的节点
5. 节点的高度：节点到叶节点的最长路径
6. 节点的深度：根节点到该节点的路径长度

### 二叉树的类型

1. 满二叉树
   - 所有叶节点都在同一层
   - 每个非叶节点都有两个子节点

2. 完全二叉树
   - 除最后一层外，其他层都是满的
   - 最后一层的节点都靠左排列

3. 平衡二叉树
   - 任意节点的左右子树高度差不超过1
   - 如AVL树、红黑树

## 二叉树的基本结构

```go
// 二叉树节点
type TreeNode struct {
    Val   int
    Left  *TreeNode
    Right *TreeNode
}

// 创建新节点
func NewTreeNode(val int) *TreeNode {
    return &TreeNode{Val: val}
}
```

## 二叉树的遍历方式

### 1. 前序遍历（根-左-右）

```go
// 递归实现
func preorderTraversal(root *TreeNode) []int {
    result := make([]int, 0)
    
    var preorder func(*TreeNode)
    preorder = func(node *TreeNode) {
        if node == nil {
            return
        }
        result = append(result, node.Val)  // 访问根节点
        preorder(node.Left)                 // 遍历左子树
        preorder(node.Right)                // 遍历右子树
    }
    
    preorder(root)
    return result
}

// 迭代实现
func preorderTraversalIterative(root *TreeNode) []int {
    if root == nil {
        return nil
    }
    
    result := make([]int, 0)
    stack := []*TreeNode{root}
    
    for len(stack) > 0 {
        node := stack[len(stack)-1]
        stack = stack[:len(stack)-1]
        
        result = append(result, node.Val)
        
        if node.Right != nil {
            stack = append(stack, node.Right)
        }
        if node.Left != nil {
            stack = append(stack, node.Left)
        }
    }
    
    return result
}
```

### 2. 中序遍历（左-根-右）

```go
// 递归实现
func inorderTraversal(root *TreeNode) []int {
    result := make([]int, 0)
    
    var inorder func(*TreeNode)
    inorder = func(node *TreeNode) {
        if node == nil {
            return
        }
        inorder(node.Left)                  // 遍历左子树
        result = append(result, node.Val)    // 访问根节点
        inorder(node.Right)                 // 遍历右子树
    }
    
    inorder(root)
    return result
}

// 迭代实现
func inorderTraversalIterative(root *TreeNode) []int {
    result := make([]int, 0)
    stack := make([]*TreeNode, 0)
    current := root
    
    for current != nil || len(stack) > 0 {
        for current != nil {
            stack = append(stack, current)
            current = current.Left
        }
        
        current = stack[len(stack)-1]
        stack = stack[:len(stack)-1]
        
        result = append(result, current.Val)
        current = current.Right
    }
    
    return result
}
```

### 3. 后序遍历（左-右-根）

```go
// 递归实现
func postorderTraversal(root *TreeNode) []int {
    result := make([]int, 0)
    
    var postorder func(*TreeNode)
    postorder = func(node *TreeNode) {
        if node == nil {
            return
        }
        postorder(node.Left)                // 遍历左子树
        postorder(node.Right)               // 遍历右子树
        result = append(result, node.Val)    // 访问根节点
    }
    
    postorder(root)
    return result
}

// 迭代实现
func postorderTraversalIterative(root *TreeNode) []int {
    if root == nil {
        return nil
    }
    
    result := make([]int, 0)
    stack := []*TreeNode{root}
    var lastVisited *TreeNode
    
    for len(stack) > 0 {
        current := stack[len(stack)-1]
        
        if (current.Left == nil && current.Right == nil) ||
           (lastVisited != nil && (lastVisited == current.Left || lastVisited == current.Right)) {
            result = append(result, current.Val)
            stack = stack[:len(stack)-1]
            lastVisited = current
        } else {
            if current.Right != nil {
                stack = append(stack, current.Right)
            }
            if current.Left != nil {
                stack = append(stack, current.Left)
            }
        }
    }
    
    return result
}
```

### 4. 层序遍历

```go
// 层序遍历实现
func levelOrder(root *TreeNode) [][]int {
    if root == nil {
        return nil
    }
    
    result := make([][]int, 0)
    queue := []*TreeNode{root}
    
    for len(queue) > 0 {
        levelSize := len(queue)
        currentLevel := make([]int, 0)
        
        for i := 0; i < levelSize; i++ {
            node := queue[0]
            queue = queue[1:]
            
            currentLevel = append(currentLevel, node.Val)
            
            if node.Left != nil {
                queue = append(queue, node.Left)
            }
            if node.Right != nil {
                queue = append(queue, node.Right)
            }
        }
        
        result = append(result, currentLevel)
    }
    
    return result
}
```

## 二叉树的应用场景

1. 表达式树
   - 算术表达式求值
   - 编译器语法分析

2. 二叉搜索树
   - 高效的查找、插入、删除操作
   - 有序数据的存储

3. 哈夫曼树
   - 数据压缩
   - 编码优化

4. 实际应用
   - 文件系统目录结构
   - 决策树
   - 游戏AI的决策系统

## 遍历算法的选择

1. 前序遍历
   - 适用于复制/序列化二叉树
   - 目录结构的显示

2. 中序遍历
   - 二叉搜索树的有序遍历
   - 表达式求值

3. 后序遍历
   - 释放节点内存
   - 计算目录大小

4. 层序遍历
   - 二叉树的可视化
   - 最短路径问题

## 优化技巧

1. 使用迭代代替递归
   - 避免栈溢出
   - 提高性能

2. 空间优化
   - Morris遍历算法
   - 常量空间的迭代方法

3. 特殊情况处理
   - 空树检查
   - 单节点树的处理

## 注意事项

1. 递归实现
   - 注意递归终止条件
   - 防止栈溢出

2. 迭代实现
   - 正确维护栈/队列
   - 处理特殊情况

3. 内存管理
   - 及时释放不需要的节点
   - 避免内存泄漏

## 总结

二叉树的遍历是理解树结构的基础，掌握不同的遍历方式对于解决实际问题至关重要。在实际应用中，要根据具体需求选择合适的遍历方式，并注意实现的效率和健壮性。同时，理解递归和迭代两种实现方式的优缺点，可以帮助我们写出更好的代码。